12:12 

Точка во внутр. области многоугольника

Uriel_01.179
Uriel_01.179
Задача 8-го класса по теме "Многоугольники" из пособия для углубленного изучения математики В.Ф. Бутузова и С.Б. Кадомцев ( ссылка на учебник www.studmed.ru/butuzov-vf-kadomcev-sv-i-dr-plan... )
"Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника ?
Ответ обоснуйте." Чертежи

Если взять случайную точку O внутри данного четырехугольника ABCD и провести расстояния от точки O до вершин A,B,C,D то данный четырехугольник разделится на 4 треугольника: ABO,BOD,COD,ACO( рис. 1). Из неравенства треугольников получаем, что AC AB/2+BD/2+CD/2+AC/2 ). Из выше сказанного следует , что произвольная точка внутренней области многоугольника не подойдет, значит нужна какая то особая точка внутр. области ABCD, но что это может быть за точка ? Я рассмотрел такую O, что расстояние между O и одной из вершин ( на рис. 2 это вершина D ) настолько мало, что им можно пренебречь( таким образом я хотел исключить из неравенства расстояние OD ), но в этом случае мы получим неравенства AB<AO+OB; AC

@темы: Планиметрия

14:52 

Переходим в 11-й класс

wpoms.
Step by step ...


Сколько всего пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?



@темы: Комбинаторика

01:02 

Доступ к записи ограничен

Diary Spirit
Администратор
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

21:27 

Поехали в Ростов-на-Дону, а оказались в Ростове Великом

wpoms.
Step by step ...


Шесть туристов совершили несколько поездок в шесть стран, во время одной поездки каждый турист посещал только одну страну. Оказалось, что если выбрать любые три из этих стран, а также любых трех туристов, то, по крайней мере, один из них был в одной из этих стран. Чему равно наименьшее возможное общее количество поездок?



@темы: Дискретная математика

11:58 

Вокруг IMO 2018

wpoms.
Step by step ...
Через два дня участники увидят интересные задачи. Пожелаем им удачи!

Можно отметить, что в этом году наша страна уже заняла первое место читать дальше

Вопрос: Какое место займет Россия по набранным баллам?
1. Первое 
4  (50%)
2. Второе 
2  (25%)
3. Третье 
1  (12.5%)
4. Другое, напишу в комментариях 
1  (12.5%)
Всего: 8

@темы: Новости

10:55 

Аффинное преобразование параболы в себя

ЗАДАНИЕ:
Определить такое аффинное преобразование параболы y^2=1/2 x в себя, которое переводит точки (8; - 2), (2;- 1) соответственно в точки (32;- 4), (18;- 3). Система координат аффинная.

Как я пытаюсь решать:

афинное преобразование:
x`=a1x+b1y+c1
y`=a2x+b2y+c2

Подставляю координаты данных точек и их образов:
32= 8a1-2b1+c1
-4= 8a2-2b2+c2

18= 2a1-b1+c1
-3=2a2-b2+c2

откуда:
8a1-2b1+c1=32
2a1-b1+c1 =18

и
8a2-2b2+c2=-4
2a2-b2+c2=-3

Но! В каждой системе 2 уравнения, и 3 неизвестных, так что этого недостаточно.

Понимаю, что нужно как-то использовать тот факт, что искомое афинное преобразование переводит параболу в саму себя. Но не знаю как. Подскажите, пожалуйста, идею!

@темы: Аналитическая геометрия

23:16 

Вокруг мяча - 23

wpoms.
Step by step ...
Дан треугольник `ABC,` `/_A = 50^@,` `/_B = 60^@,` `/_C = 70^@.` точка `P` лежит на стороне `AB,` `P != A,` `P != B,` вписанная окружность треугольника `ABC` пересекается с вписанной окружностью треугольника `ACP` в точках `U` и `V` и пересекается с вписанной окружностью треугольника `BCP` в точках `X` и `Y,` прямые `UV` и `XY` пересекаются в точке `K.`
Найдите величину угла `UKX.`


@темы: Планиметрия

22:56 

Вокруг мяча - 22

wpoms.
Step by step ...
Отрезки `AB` и `CD` расположены в пространстве и могут не лежать в одной плоскости, точка `X` - середина `AB,` она не лежит на прямой `CD,` точка `Y` - середина `CD,` она не лежит на прямой `AB.` Докажите, что `2|XY| <= |AD| + |BC|.` В каком случае достигается равенство?


@темы: Стереометрия

22:27 

Вокруг мяча - 21

wpoms.
Step by step ...
Дан треугольник `ABC`, `r_A` - прямая, проходящая через середину `BC` и перпендикулярная биссектрисе `/_BAC,` `r_B` и `r_C` определены аналогично, `H` - ортоцентр `ABC,` `I` - центр вписанной окружности `ABC.` Пусть точки пересечения прямых `r_A`, `r_B`, `r_C` определяют некоторый треугольник. Докажите, что центр его описанной окружности делит пополам отрезок `HI.`


@темы: Планиметрия

22:11 

Вокруг мяча - 20

wpoms.
Step by step ...
Дан треугольник `ABC,` `/_ CAB = 2/_ ABC,` точка `D` лежит внутри треугольника `ABC,` `|AD| = |BD|,` `|CD| = |AC|.` Докажите, что `/_ ACB = 3/_ DCB.`


@темы: Планиметрия

20:35 

Вокруг мяча - 19

wpoms.
Step by step ...
Дан равнобедренный треугольник `ABC,` `AC=AB,` вписанная в него окружность касается в точках `X,` `Y,` `Z` его сторон `BC,` `CA,` `AB` соответственно, прямая `CZ` пересекает вписанную окружность в точках `L` y `Z,` прямая `YL` пересекает `BC` в точке `M.`
Докажите, что `XM=MC.`


@темы: Планиметрия

18:43 

Вокруг мяча - 18

wpoms.
Step by step ...
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, BC = CD = DE, каждая диагональ пятиугольника параллельна какой-то из его сторон.
Докажите, что (1) все углы пятиугольника равны, (2) все стороны пятиугольника равны.


@темы: Планиметрия

10:45 

Вокруг мяча - 17

wpoms.
Step by step ...
Окружности `omega_1,` `omega_2` пересекаются в точках `P,` `Q.` Прямая, проходящая через точку `P,` пересекает `omega_1,` `omega_2` в точках `A,` `B,` соответственно. Другая прямая, параллельная `AB,` пересекает `omega_1` в точках `D,` `F,` а `omega_2` пересекает в точках `E,` `C` так, что точки `E,` `F` лежат между `C,` `D.` Пусть `X` - точка пересечения `AD` и `BE,` а `Y` - точка пересечения `BC` и `AF.` Пусть точка `R` симметрична точке `P` относительно `CD.`
Докажите, что (1) `R` лежит на `XY.` (2) `PR` является биссектрисой угла `XPY.`


@темы: Планиметрия

09:34 

Вокруг мяча - 16

wpoms.
Step by step ...
Точки `A,` `B,` `C` и `D` лежат на прямой `l` в указанном порядке, `AB = BC,` `AC = CD,` окружность `omega` проходит через точки `B` и `D,` прямая, проходящая через точку `A,` пересекает `omega` в точках `P` и `Q,` точка `Q` расположена между `A` и `P,` точка `M` - середина отрезка `PD,` а точка `R` симметрична точке `Q` относительно прямой `l,` отрезки `PR` и `MB` пересекаются в точке `N.`
Докажите, что точки `P,` `M,` `C` y `N` лежат на одной окружности.


@темы: Планиметрия

08:40 

Вокруг мяча - 15

wpoms.
Step by step ...
Дан треугольник `ABC,` `AC = 31,` `AB = 22,` медианы `C C'` и `B B'` перпендикулярны друг другу. Найдите длину `BC.`


@темы: Планиметрия

08:07 

Вокруг мяча - 14

wpoms.
Step by step ...
Окружность `omega` описана около треугольника `ABC,` `I` - центр вписанной окружности треугольника `ABC,` касательная к окружности `omega,` проходящая через точку `C,` пересекает прямую `AB` в точке `D,` прямые `AI` и `BI` пересекают биссектрису угла `CDB` в точках `E` и `F,` соответственно, точка `M` - середина `AB.`
Докажите, что прямая `MI` проходит через середину дуги `ACB.`



Примечание. В условии имеется опечатка. Точка M - середина отрезка FE.

@темы: Планиметрия

06:59 

Вокруг мяча - 13

wpoms.
Step by step ...
В треугольнике `ABC` точка `D` является серединой гипотенузы `AB.` Окружность `k` описана около треугольника `BCD,` точка `E` лежит на меньшей дуге `BD.` На прямой `BC` выбрана точка `F` так, что точка `B` находится между точками `C` и `F` и `/_ BEF = 2/_BAF.` Окружность `k_1` описана около треугольника `CEF.`
Докажите, что одна из общих касательных окружностей `k` и `k_1` пролази через тачку `D.`


@темы: Планиметрия

23:20 

Вокруг мяча - 12

wpoms.
Step by step ...
Пусть `M` - середина стороны `BC` треугольника `ABC,` а `H` - его ортоцентр. Биссектриса угла `C` пересекает прямую `AH` в точке `T.` Пусть `MH` параллельна `CT.`
Докажите, что `BH = HT.`


@темы: Планиметрия

23:08 

Задача про оператор

Линейный оператор `A`: `RR^n to RR^n` таков, что `A^3` - проектор.
1) Какие собственные значения может иметь `A`?
2) Верно ли, что `A` будет иметь диагнональную матрицу в каком-либо базисе `RR^n`

Моя попытка решения п.1
По определению, проектора: `A^6 = A^3`. В то же время по определению союственного числа: `A x = lambda x` => `A^6 x = lambda^6 x` и `A^3 x= lambda^3 x => lambda^6-lambda^3 = 0 Leftrightarrow lambda = 0, lambda = 1`, кратность корней 3
Моя попытка решения п.2
Здесь, к сожалению, не все лямбды различны, значит возможна ситуация, когда собсвтенных векторов может быть недостаточно и собственный базис не будет существовать. Тут как-то надо найти собсветнные вектора?

@темы: Линейная алгебра

19:40 

Вокруг мяча - 11

wpoms.
Step by step ...
Окружность `k` с центром `I` вписана в треугольник `ABC,` она касается сторон `BC,` `CA` и `AB` в точках `D,` `E,` `F` соответственно, прямая `AI` пересекается с окружностью `k` в точке `G,` лежащей между точками `A` и `I,` прямые `BE` и `FG` параллельны.
Докажите, что `BD = EF.`


@темы: Планиметрия

Меж светом и тьмой остаться собой...

главная